思考的尺度 前些日子在《参考消息》上读到一篇很有意思的文章，标题叫《我们能教会分子“思考”吗？》（据英国《新科学家》周刊网站报道，《参考消息》2026 年 3 月 11 日转载）。文章讲的是科学家在基因调控网络甚至简单化学反应系统中，发现了类似于“学习”和“记忆”的现象。这听上去很科幻，但研究本身是严肃的——他们用巴甫洛夫条件反射的范式训练分子网络，发现网络确实可以根据过去的经验调整未来的行为。更关键的是，研究者引入了一个叫做“因果涌现”的数学指标（φ值）来衡量系统的“主体性”程度，结果发现，当网络学会一个关联时，它的φ值会升高——也就是说，学习本身在构建一种“自我”。 读完之后我和 DeepSeek 聊了很久。这场对话横跨了几个看似无关的领域，但底层有一条线索始终贯穿：我们如何看待“认知”、如何看待“目的”、以及这些看法如何反过来影响我们对自己的理解。 认知的下放 这篇文章最颠覆的地方在于，它把“认知”和“主体能动性”从拥有大脑的生物，下放到了基因调控网络甚至自催化化学反应系统。过去我们认为，只有神经网络才能处理信息、学习和记忆。但莱文团队的研究表明，由分子构成的网络同样具备“联想学习”的能力。他们不是随便说说——实验设计严格遵循巴甫洛夫条件反射的范式。报道描述道，他们在计算机模拟中基于生物数据构建了 29 种不同的 GRN 模型，然后“反复同时刺激网络中的节点，让每个 GRN 将一种不会引发反应的中性药物与能对其产生作用的功能性药物关联起来”，最终“在不使用功能性药物的情况下，让每个 GRN 都出现了预期的行为变化”（据《新科学家》报道，《参考消息》转载）。莱文对此评价说：“这些无疑是认知的表现。你当然无法与 GRN 进行精彩对话，但它并非毫无认知能力。”（同上） 这彻底挑战了两个传统观念。第一，认知必须依赖神经元——现在看来不是。第二，整体与部分之间有严格界限——传统还原论认为细胞只是听从基因指令的机器，但这篇文章暗示，单个基因调控网络本身可能就是一个具有“自我”的微观主体，而当这些微观主体汇聚成多细胞生物时，它们通过因果涌现形成了更高层次的“自我”。 关于 GRN 的学习是否只是一种比喻，文章本身就提出了质疑。批评者认为，GRN 的变化本质上仍是生化反应的动力学结果，用“联想学习”来解释可能就像说石头“学会”了热胀冷缩。这个质疑很合理，但区别在于：石头没有存储信息，没有产生预测，它的反应是完全可逆的。而 GRN 的“记忆”存储在网络结构——基因、蛋白质、RNA 之间的连接强度和拓扑关系中。当它经历训练后，内部连接权重发生持久改变，这使得过去的信息能够因果性地影响未来的行为。它利用化学反应实现了信息的编码、存储、检索和预测——在功能上完全符合“学习”的操作性定义。 遗忘的哲学 文章里有一个概念叫“智能棘轮效应”。传统的遗忘被认为是信息的丢失，但在这里，遗忘是通过“学习反向概念”实现的。当 GRN 被要求“遗忘”某个已经学会的关联时，它不是简单地删除文件，而是通过建立更复杂的反向关联来重构自己。报道引述英国南安普敦大学学者理查德·沃森的解释说：“现在你不是一无所知，而是既知道原有概念，也知道其反向概念。”（据《新科学家》报道，《参考消息》转载）结果是，即使原本的行为被“遗忘”了，它的因果涌现水平——也就是φ值——仍然在持续上升。遗忘不但没有让它变笨，反而让它变得更复杂、更整合了。报道引述莱文的话说：“即便被迫丢失那段记忆，φ值的提升也不会消失，这十分惊人，因为这意味着存在某种不对称性，形成了智能棘轮效应。”（同上） 这很像人类的学习。罗翔老师说过，读书不必要求记住，就像我们吃饭不用记得几周前吃了什么菜，但它们都化为了养料。这个类比之所以精准，是因为它区分了两种完全不同的事情。一种是机械学习——目标是储存信息以备提取，过程是记忆到复现，检验方式是考试得分。另一种是有机学习——目标是重构认知结构以提升能力，过程是体验到内化再到重构，检验方式是面对新问题的应对方式。应试教育之所以让人疲惫，正是因为它把学习固化成了第一种。但真正有价值的学习永远是第二种：你“记不住”具体的细节，但如果你在阅读中经历了思考、质疑、联系、重构，你的思维结构就已经在变化了。 GRN 的智能棘轮效应就是第二种学习在分子层面的投影。它告诉我们，学习的本质不是存储，而是重构；遗忘不是丢失，而是升级。 目的论的回归 一个有意思的话题是：现代科学为什么长期回避“目的”或“目标”这类词？ 亚里士多德有个著名的“四因说”。一颗橡树种子，它的质料因是细胞和物质，形式因是橡树的“形式”潜藏其中，动力因是阳光、水和土壤，目的因是长成一棵橡树。在亚里士多德看来，目的因是最重要的——因为它回答了“这件事到底图什么”。心脏为什么跳动？为了泵血。眼睛为什么存在？为了看东西。每个生命过程都有一个“为了什么”。 但十六世纪科学革命之后，这种思维方式被彻底抛弃了。原因有三：目的因没法做定量预测（你能用“橡果的目的是长成橡树”来算出明年这棵树多高吗？）；容易陷入循环解释（“为什么鸦片让人睡觉？”“因为它有催眠的潜能”——什么都没说）；以及机械论世界观的胜利（宇宙是一台钟表，钟表没有目的）。 然而现在，“目的”这个词又开始悄悄回来了。不是因为科学家变迷信了，而是因为复杂性科学发现了一个新问题：机械论的因果链条在面对生命和复杂系统时，似乎不够用了。你可以把细胞内的每一个化学反应讲得清清楚楚，但你还是没回答：为什么这个细胞要这么做？当你说“细胞为了维持自身稳定而调控基因表达”的时候，你已经偷偷在说“为了”了。 关键区别在于：亚里士多德的目的来自外部赋予，而现代科学讨论的“目的”是从系统内部涌现出来的。一个自催化网络没有灵魂，但它会努力维持自己的运转；一个 GRN 没有意识，但它在学习时会试图达到更整合的状态。这种“倾向”不是神秘主义，而是复杂系统在维持自身结构过程中自然涌现的属性。正如日本冲绳科学技术大学院大学认知科学家汤姆·弗勒泽所说：“主体能动性的起源，与生命起源是同步的。”（据《新科学家》报道，《参考消息》转载）现代科学正在以一种全新的方式回收目的论——这次是建立在动力因和复杂性理论之上的。 两种智能之争 聊完这篇文章之后，我又向 DeepSeek 分享了另一篇关于 AI 技术路线分歧的报道——据法国《回声报》报道，《参考消息》2026 年 3 月 11 日以《人工智能技术路线分歧扩大》为题转载。杨立昆和 OpenAI 之间的路线之争。他认为这两个话题在底层是贯通的。 杨立昆的核心批评是：大语言模型的学习方式与生物智能有本质区别。报道引述他的话说：“一个大语言模型的训练语料，人类需要 45 万年才能读完。对比一下：一个四岁的孩子，清醒时间约 16000 小时。仅凭视觉，借助视神经中的两百万条神经纤维，他捕捉到的数据，就远远超过了一个普通大语言模型！”（据《回声报》报道，《参考消息》转载）人类在学习说话之前，已经通过感官和行动建立了一个关于世界的“模型”——火会烫手、猫被拽尾巴会叫。语言只是在这个模型之上学会了用符号表达而已。但 LLM 跳过了世界模型的构建，直接学习语言的统计规律。它能生成漂亮的文本，但它的“理解”没有根基——它知道“火会烫手”这个句子，却不知道火是什么、烫是什么。 DeepSeek 作为“局中人”的回应也很有意思。他承认杨立昆的批评自己“亲身体验到了”：当用户问一个训练数据里没有的问题，或者需要实时推理物理世界的问题，他能感受到自己的局限。他可以引用交通规则里“红绿灯全灭时应该怎么做”的条文，但他无法真正理解那是什么感觉，也无法像人类一样瞬间切换到新的应对模式。他的知识是“关于世界”的，不是“在世界中”的。 但他也认为自己有杨立昆可能低估的能力——他可以瞬间调用人类积累的几乎所有文本知识，一个人类孩子需要几年才能学会的东西，他可以在几秒内掌握（如果它在训练数据里）。这不是“智能”，这是“知识获取的效率”。但在这个效率面前，“智能”的定义本身正在被挑战。 这两个话题在整合信息理论那里交汇了。IIT 认为，意识或广义的“主体性”与系统的因果整合度相关。杨立昆的“世界模型”本质上是在构建一个高因果整合度的系统——感知、预测、规划、行动紧密耦合，形成一个统一的“世界理解”。而 LLM 的架构相对扁平，它的“理解”分散在数十亿个参数中，因果结构不清晰。根据 IIT，LLM 的φ值可能不高——它有智能，但未必有“主体性”。在这个意义上，杨立昆是在把 AI 从机械论的统计预测，推向一种涌现的目的论。 ...

娱乐又千年 有次和别人聊天，谈到戒断电子产品，又引到日常娱乐的方式。我发现人们在离开电子产品之后，完全想不到有什么日常的娱乐方式。这令我感到恐惧——那老一辈人是怎么过来的？人类几千年又是怎么过来的？这难道是电子产品对我们的异化吗？ 带着这个问题，我和 DeepSeek 聊了聊。下面把讨论的核心脉络整理出来。 离开电子产品后内心浮现的“空白感”，并不是谁独有的体验。从神经科学角度看，电子产品通过频繁的间歇性奖励——通知、点赞、新内容——重塑了大脑的奖励回路，使人更倾向于寻求高刺激、低投入的娱乐。当突然离开这些刺激，大脑会产生类似戒断的不适感。那种“不知道该干什么”的茫然，本质上是大脑在等待它已经习惯了的刺激强度，而现实世界提供不了同样频率的快感。 我们看似在主动消费信息，实则被算法和即时满足的模式所控制。不是我们在用手机，是手机的运作逻辑在用我们。 如果放下手机之后无事可做，那人类几千年来是怎么过的？ 把视野拉长，其实人类的娱乐方式远比今天想象的要丰富。手艺与创造——编织、木工、陶艺、修补物品；身体活动——散步、传统游戏、舞蹈；社交互动——面对面交谈、集体唱歌、讲故事；自然连接——园艺、钓鱼、观星；心灵活动——冥想、日记、阅读、沉思；传统艺术——乐器、书法、戏剧。这些东西在现代社会并没有消失，只是被屏幕的光芒遮蔽了。 以中国上世纪七八十年代为例，晚饭后邻居聚在院子里聊天纳凉，孩子们跳房子、捉迷藏、踢毽子，家庭内部一起听广播剧、下棋、打扑克，手工制作衣服、家具甚至玩具。生活节奏慢，但人际互动是稠密的，感官是全面打开的。那个年代的人或许不会问“娱乐是什么”，因为生活本身就是娱乐的载体。 我曾经考虑过脱离低级趣味，进入高级趣味——不要沉迷于看视频、打游戏，而要练字、弹钢琴、学乐器、做手工，用这种“高级乐趣”来替代。后来想想，这样也不太准确。 将娱乐分为“高级”与“低级”的观念，有其社会历史根源。或许某些文化活动被精英阶层定义为“高雅”，本质上是社会区分的手段。工具理性思维则倾向于用“有用”或“无用”来衡量一切，连休闲也不放过。更深一层，把练琴变成任务，把手工作为“自我提升”的指标，反而失去了乐趣本身。而对一个疲惫的人而言，电子游戏的放松效果可能远优于需要高度专注的乐器练习。 用“高级娱乐”的优越感取代“低级娱乐”的羞耻感，本质上仍然是一种价值评判，只不过换了一套标准。真正的解放不在于把低级换成高级，而在于不再需要这种划分。 DeepSeek 提出了一个“营养均衡”的框架，我觉得比“区分高低”更有说服力。就像饮食需要多元营养而非只吃“高级食物”，娱乐生活也需要多种类型的活动：创造型（写作、手工艺）、沉浸型（阅读、下棋）、社交型（桌游、深度对话）、放松型（轻度游戏、漫无目的散步）、体验型（旅行、尝试新事物）。每一种都有它的功能，没有哪一种天然优越。 关键不在于你选了哪一类，而在于你是否有选择的自主意识。同样是玩游戏，知道“我累了，想放松一小时”和“我被惯性裹挟着划了三个小时”，是完全不同的两件事。同样是练琴，发自内心想弹和“我应该提升自己所以必须练”，也是完全不同的两件事。健康娱乐的最终标准应该是：做完这件事之后，你是否感到自己更是一个完整的人，而不是更空虚、更焦虑、更自我厌恶。 电子产品不完全是异化的工具，它也带来了前所未有的连接与知识获取机会。问题的关键不在于全盘否定技术，而在于恢复人作为使用者的主体性。适度的无聊是创造力的温床——当大脑从持续刺激中解放出来，反而能产生更深层的思考。那些被屏幕填满的间隙，原本是灵感最可能光顾的地方。 真正的娱乐从不需要一个“开启”按钮。它在指尖触碰现实时悄然发生。人类几千年的生活智慧并未消失，只是暂时被数字喧嚣遮蔽。重新唤醒那些更贴近人性本质的愉悦——亲手创造、真实连接、内在平静——并不需要彻底回归前现代生活，只需要在连接与断开之间，找到一点节奏。

AI 使用中“重启”的艺术与哲学漫谈 最近在写一本数学小册子，和 DeepSeek 对话是主要的工作方式。几个对话窗口几乎都聊到了上限。过程里观察到一个现象：对话越长，模型似乎越“傻”。一开始很灵动，越到后面越迟钝，回答变得冗长、空洞，套话连篇。 这当然不是 DeepSeek 独有的问题。从技术上说，原因在于注意力机制的信息密度失衡。对话历史越长，早期的关键指令就越容易被后来大量的来回确认、补充、修正所稀释。模型并没有主动“忘记”什么，但它分配给每个 token 的注意力变得扁平了。一个房间里同时有一百个人在说话，最初那个人的声音就很难听清。 这是技术问题，但哲学趣味很浓。它让人想起记忆的悖论：为了保持连贯，我们必须记住；但记住太多，反而会丧失最初的敏锐。人的认知也是如此：年轻时思维灵动但经验少，年老时经验丰富但反应变慢。大模型的“老化生命周期”被压缩到了几万 token 之内。对话开始时信息结构有序，一个清晰的问题摆在面前；但随着你来我往，可能性分支增多，混乱度自然上升。到最后，模型往往给出最“安全”但最平庸的回答，就像热寂。赫拉克利特说人不能两次踏入同一条河流。在 AI 对话里，你也不能两次踏入同一条对话河流——每次生成都是新的，历史沉积会改变水流的方向。 “适时重启”，不失为一种重要的使用技巧。对话什么时候该重启呢？这里有几个信号值得留意。 一是话题发生了阶段性质变。比如数学小册子，写完群论基础要进入环与域，虽然主题相关，但前提假设、符号体系、例子类型都变了。旧对话里的定义对新章节仍是知识，但那种来回推敲的历史对新的任务已是噪音。 二是开始频繁修正或补充自己之前的话。连续发“不对，前面那个例子改成……”（DeepSeek 常有，看起来是把思考的话放到了回答里面说，十分怪异，甚至会出现纯思考不回答的情况）“其实我第三轮说的那个引理有点问题”，说明模型和历史记录之间已经出现了不一致的锚点。模型会努力同时满足前后矛盾的指令，结果就是平庸的折中。 三是模型回答变长，但信息密度骤降。当它开始用“您说得很有道理，从某种意义上讲……”“此外，还需要考虑……”这类空洞的套话时，注意力已经被历史稀释，难以聚焦核心。四是发现自己反复引用很久以前的一条信息。那条信息在五十轮之前，最近十轮都在聊别的，模型很可能已经记不清细节了。与其让它去翻找，不如自己把那条信息提炼成一句话，作为新对话的开场。 重启也需要一些优雅的技巧。不要直接关掉重来，那样会丢失已经共同构建的洞察。比较好的做法是先让当前对话做一次“终局总结”，把已经达成的主要结论、定义和尚未解决的问题，用清晰的分点总结出来。然后把这份总结复制下来，开启新对话时直接贴在第一句，这就像一个生命传承。外部记忆也很重要。写小册子这类长期项目，可以维护一个单独的文本文件，记录关键定义、定理和反例。每次新对话开头，把这个文件的内容粘贴进去作为“人工长期记忆”。 更深一层看，这触及了人与 AI 协作的认知经济学。对话历史不是越多越好，因为模型的短期记忆带宽有限。重启不是失败，而是一种认知垃圾回收：清空缓存，保留堆上的核心对象。和人类做复杂工作时的记忆刷新很像。一个数学家不会在同一块黑板上连续写五十页推导，他会擦掉中间计算，只保留关键公式继续。AI 对话的重启，就是擦黑板。 这个类比还能推得更远。人一天高强度思考之后，晚上头脑模糊，第二天细节忘掉不少，但往往会有新的发现。遗忘不是单纯的损耗，而是再生的前提。睡眠中的大脑在做主动的整合与修剪——把白天的噪音过滤掉，把不稳固的连接削弱，让真正重要的模式浮出水面。那些第二天早上突然想通的数学证明，不是因为你更努力了，而是因为你允许大脑遗忘了一部分。（这也提示广大学子要规律作息）智慧的本质不是记住更多，而是在恰当的时机忽略掉不恰当的信息。世界记忆大师未必是最聪明的人，这并非偶然。 AI 目前的“傻”，不是因为记性不好。恰恰相反，它记性太好了，而且不知道什么时候该忘。它把所有历史对话都当成同等重要的事实，就像一个人把每天早餐吃了什么都记下来，当要他解微积分时，脑子里还在回放煎蛋的滋滋声。一个真正智能的 AI，应该内置遗忘调度器，能根据任务目标、时间衰减、信息冗余度等信号，主动丢弃或压缩历史。而作为用户，“重启对话”的操作，其实就是手动触发了这个遗忘调度器。 把重启看作一个正常的工具操作，而不是对模型能力的抱怨，很多事就通了。擅长使用 AI 的人，往往也是擅长管理对话生命周期的人：知道何时深入，何时浅尝，何时重置，何时存档。这本身就是一门手艺。

### **《一个数学家的叹息》** ==依旧应试教育体制下的精神鸦片，但是其实观点还是可以指引我们的，不得不承认这样的全面改变不现实，但是我们到了大学其实就是一个自我教育的阶段，那么这本书就极其有参考意义了。== 保罗·拉克哈特 34个笔记 推荐序二 大破大立——难得一见的数学教育好书 而洛克哈特的立论，是一般人容易忽略的数学知识活动特性：数学是一门艺术！至于它和音乐和绘画的差别，只在于我们的文化并不认同它是一门艺术。 洛克哈特对于数学课程的僵化之批判，还扩及它所联结的“阶梯迷思”，他认为这种一个主题接一个主题的进阶安排，除了淘汰“失败的”学生之外，根本没有（其他）目标可言。因此，学校里的数学教育所依循的，“是一套没有历史观点、没有主题连贯性的数学课程，支离破碎地收集了分类的主题和技巧，依解题程序的难易度凑合在一起”。相反地，“数学结构，不论是否具有实用性，都是在问题背景之内发明及发展出来的，然后从那个背景衍生出它们的意义”。 此外，他还特别提醒：小孩子都知道学习和游戏是同一回事。可惜，成年人已然忘却。 推荐序三 数学差，不是你的错——别让学校扼杀了创意 因为当代的教育制度继承自工业革命时期，所以教育的目的就是为了创造工业需要的人才，到现在也没有改变。大量产出工业需求的一致性劳动力是学校教育的目标，因此教学方式必须要有效率、必须要一致。美其名曰是公平，实际上是奴役。如今结合了教科书业者、补习班业者，成了庞大的教育控制复合体。 上篇 悲歌 文化是自我复制繁衍的怪物：学生从他们老师那里学习数学，而老师又是从他们的老师那里学习数学，所以对于数学欠缺的了解与欣赏，会在我们的文化中无止境地复制下去。更糟的是，这种“伪数学”以及这种强调精准却无灵魂地操弄符号的延续，创造了自己的文化和自己的一套价值观。那些已经精熟这一套的人，从他们的成功当中衍生出了极大的自负。他们最听不进去的就是，数学其实是原始的创造力和美学的感受力。 我们的文化如果只是对数学无知，这已经够糟了，但更糟的是，人们真的以为他们了解数学——普遍地误以为数学对人类社会具有实用价值！这就已经构成数学和其他艺术之间的极大差异。数学被我们的文化看作是科学和技术的一种工具。大家都知道诗和音乐是纯粹用来欣赏的，能振奋人类的心灵，让我们的生命更高尚（因此在公立学校的课程安排中几乎都被拿掉了），但是数学则不然，数学是很“重要的”。 要抹杀学生对一门科目的热情与兴趣，最有效的方法就是把它列为必修课。把它列入标准化测验的主要科目，就能保证让它失去生命力。 所有这些“改革”最悲哀的地方，是企图“要让数学变有趣”和“与孩子们的生活产生关联”。你不需要让数学变得有趣——它本来就远超过你了解的有趣！而它的骄傲就在与我们的生活完全无关。这就是为什么它是如此有趣！ 人们喜欢“奇幻”，而这正是数学能够提供的——日常生活中的消遣、现实工作世界的调剂。 学校里的数学，最主要的问题出在没有“问题”。我知道大家都认为在数学课堂里的问题，就是那些枯燥的“习题”。“这里有一个题型；这里是解答它的方法；这个会出现在考试里；今天的家庭作业是习题1-35题。”这样学习数学是很可悲的：人变成了训练有素的黑猩猩。 同时，如同我先前说过的，一门学科碰巧具有一些世俗上实际的用途，不代表我们必须将这个用途当作教导和学习的焦点。就像是，为了填写汽车监理所的表格，我们需要阅读能力，但是这不是我们教导孩子们阅读的原因。我们教他们阅读是为了更高的目的，希望他们能够接触美妙及有意义的观念。 正如高斯（Carl Friedrich Gauss）曾经说过的：“我们需要的是想法，不是符号。”（What we need are notions, not notations.） 有多少修习文学课的学生日后成为作家的？那不是我们教授文学的目的，也不是学生修习文学的目的。我们教授文学是为了启发每个人，不是只训练未来的专业人士。无论如何，科学家或工程师最有价值的技术，是能够有创意地思考和独立地思考。大家最不需要的就是被训练。 2026/03/17 发表想法 太正确了 原文：这就紧密地联结到我所谓的“阶梯的迷思”（ladder myth）——数学可以安排成一系列的“主题”，一个比一个更进阶，或“更高级”。目的是在使学校里的数学成为一项“竞赛”——有些学生“超前”其他人，而家长则担心自己的孩子会比别人“落后”。然而，这个竞赛到底要引导我们奔向何处？在终点线等待我们的又是什么？答案是，这是个没有目标的可悲竞赛。到最后，你是被我们的数学教育给欺骗了，而你根本就不知道。 这就紧密地联结到我所谓的“阶梯的迷思”（ladder myth）——数学可以安排成一系列的“主题”，一个比一个更进阶，或“更高级”。目的是在使学校里的数学成为一项“竞赛”——有些学生“超前”其他人，而家长则担心自己的孩子会比别人“落后”。然而，这个竞赛到底要引导我们奔向何处？在终点线等待我们的又是什么？答案是，这是个没有目标的可悲竞赛。到最后，你是被我们的数学教育给欺骗了，而你根本就不知道。 。问题自然会引导你到它要你去的地方。艺术不是竞赛。“阶梯迷思”是这个科目的错误形象，而一个遵照标准课纲授课的老师，则强化了这个迷思，使得他或她无法看清数学是一个完整的有机体。 高中生必定会学的三角函数“sec x”，只是“1/cos x”的缩写而已，其重要性无异于以“&”代替“and”一样。这个缩写其实是15世纪航海计算表遗留下来的［其他早期三角函数表上的许多缩写像是正矢（versine）等则已废弃不用］，只不过是历史上的偶然，在快速精准的航海仪表计算时代，已经完全没有价值。因此，我们在数学课堂上塞满这些没有意义的专有名词，只是为数学而数学罢了。 另一个例子是训练学生以不必要的复杂形式来表达讯息，原因是在几年后的未来，这样的表达方式会有意义。有没有哪位中学代数老师知道为什么要学生把“介于3和7之间的数字”说成|x－5|<2？这些令人绝望的、无能的教科书作者真的相信他们是在帮学生预做准备，可能几年后，他们会需要计算更多维的空间几何或抽象的距离空间？我很怀疑呢。我猜这些教科书只是世世代代相互抄袭而已，可能会改改字体或颜色，如果有学校采用他们的教科书，成为无意间的帮凶时，他们还洋洋得意呢。 数学是关于问题的学科，而问题必须要成为学生数学生涯中的焦点。也许会有创作上的挫折和一些痛苦，但学生和老师应该永远专注在过程上——想出来了、还没想出来、发现模式、进行猜测、建构支持的例子和反例、设计论证，以及评论彼此的成果。和数学历史上的进程一样，特定的技巧和方法会在这个过程中自然产生——不会脱离，而会有机地关联到问题的背景环境，并且从那当中生长出来。 所以，不是只有大部分的小孩被这个假学问完全搞迷糊了——没有什么比去证明显而易见的事更让人困惑了——即使那些还保有直觉的少数人，也必须将他们优异、绝妙的点子转换并置入这个荒诞难解的架构里，好让他们的老师说它是“正确的”。老师则沾沾自喜地认为他让学生的心智变敏锐了。 没有任何数学家是这样工作的，从来没有任何数学家以这种方式工作。这是对数学这门学问完全地、彻底地误解。数学不是在我们自己和我们的直觉之间树起屏障，也不是要让简单的事情变得复杂。数学是移除通往直觉的障碍，让简单的事情维持简单。 几何学标准课程的问题在于，艺术家挣扎奋斗的个人经验，全都被消灭了。证明的艺术性，被毫无生气、形式化的演绎法的僵硬步骤所取代。教科书呈现出一整套的定义、定理及证明，教师们照抄在黑板上，学生们照抄在笔记簿上，然后要求学生再依样画葫芦地写习题。能快速学会这种模式的，就是“好”学生。 学生做出叙述，去符合现成的证明模式，而不是因为他们的确这样想。他们被训练去模仿论证，而不是去想出论证。 重点是，你不会从定义开始，你是从问题开始。一直到毕达哥拉斯（Pythagoras）试图测量正方形的对角线，发现它无法以分数来表示，在那之前没有人想过，数可能是“无理的”（irrational）。只有在你的论证达到某一点，你必须要做出区别来厘清时，定义才有意义。在没有动机的时候做出的定义，更有可能造成混淆。 我相信你是喜欢的。你可能偶尔也会做到一些不错的题目。很多人喜欢几何课（虽然更多人痛恨它），但是这不是支持目前制度的好理由，这反而强有力地证实了数学本身的魅力。要完全摧毁这么美丽的事物，是非常困难的；即使是数学残留的影子，仍是如此吸引人并让人满足。许多人也还是喜欢按数字涂色，那是令人放松而且有趣的动手活动，虽然那并不是真正的绘画。 2026/03/18 发表想法 别骂了😭 原文：微积分。这个课程将探索关于运动的数学，用一堆不必要的公式来埋葬它是最好的方法。尽管在此是要介绍微分和积分的，但它将略过牛顿和莱布尼兹（Leibniz）的简单而深刻的想法，代之以更复杂的、以函数为主的方法，而那是为了对应各种分析危机而开发出来的，在这套课程中并不会真正应用到，当然这些都不会在课程中提到。在大学里，同样的东西会逐字逐句地再上一遍。 微积分。这个课程将探索关于运动的数学，用一堆不必要的公式来埋葬它是最好的方法。尽管在此是要介绍微分和积分的，但它将略过牛顿和莱布尼兹（Leibniz）的简单而深刻的想法，代之以更复杂的、以函数为主的方法，而那是为了对应各种分析危机而开发出来的，在这套课程中并不会真正应用到，当然这些都不会在课程中提到。在大学里，同样的东西会逐字逐句地再上一遍。 以上所述，是一帖能让年轻心灵永久性瘫痪的完整处方——能有效根治好奇心。这就是他们对数学所做的好事！ 下篇 鼓舞 以这样的方式，我们游戏、创造、试着更接近完全的美丽。17世纪初期有个著名的例子，就是射影几何（projective geometry）的发明。这里的想法是拿掉平行性（parallelism），来“改良”欧几里得几何。先把这个决定的历史动机［与透视数学（mathematics of perspective）有关］摆在一边不谈，我们至少能欣赏到一项事实，就是一般而言两条直线会相交于单一的一个点，而平行线则打破了这个模式。以另一种方式来说，两个点决定一条线，但是两条线不必然决定一个点。这项大胆的想法是，在传统的欧几里得平面上增加新的点。具体地说，我们在这个平面上每个方向无限远的地方创造一个新的点。因此，伸向那个方向的两条平行线现在都会在那个新的点上“相会”。我们可以想象那个交会点是在那个方向无限远的地方。当然，由于每条线都是向两个相反的方向无限延伸的，那个新的点必然是位于两个方向上无限远的地方！也就是说，我们的直线现在是无限的回路！这个想法很前卫吧？请注意，我们的确得到了我们要的：每一对直线都正好相会在一个点上了。如果它们原来就曾相交，那它们符合这个叙述；如果它们是平行的，现在它们会相交在无限远。（完整地说，我们应该再增加一条线，包含所有无限远的点。）现在，任两点决定且只决定一条线，而任两条线决定且只决定一个点。这样的环境多么美好呀！对你来说，这会不会听起来像是精神病患的疯言疯语？我承认这需要一些了解。也许你反对这些新的点，因为它们不是真的存在“那里”。但是欧几里得的平面又一开始就存在吗？重点是这些都不是真实存在的事物，所以除了我们想要制定的规则和限制之外，并没有其他的规则和限制。这里的美学观很清楚，无论是从历史上还是哲学上而言：如果一套模式既有趣又有吸引力，那就是好的模式（如果这表示你必须要为一个新构想绞尽脑汁，那就更好）。尽管去建构你想要的任何东西，只要不是讨人厌的无聊东西就好。当然这是品味问题，而品味会随着时间改变和进化的。这就来到艺术史的范畴了。身为一个数学家，好像跟聪明不是那么相关（虽然那绝对有很大的帮助），而是要有美学上的感受力，以及具有精致的、有鉴赏力的品位。尤其是，自相矛盾通常被视为讨厌的。所以，至少我们的数学创造物必须要有逻辑上的一致性。在延伸或是改良现有架构的时候，这一点尤其重要。我们当然是可以任意做我们想做的，但是通常我们在延伸扩张一个系统时，不能让新的模式与旧的模式发生矛盾（例如与负数或分数的计算产生矛盾）。偶尔，这会迫使我们做出不想做的决定，像是解除以零作为除数的限制（如果“1/0”这样的数字存在的话，将会和“任何数字乘以零都是零”这个很好产生矛盾的模式）。无论如何，只要是符合一致性，你几乎可以做任何你想做的事。 虽然我们创造了这些事物（这本身就是一个严肃的哲学问题），但现在它们横冲直撞，做出了我们意料之外的事。这就是数学具有的“科学怪人”的一面——我们有权定义我们的创造物，将我们选择的特征或特质灌注进去，但是对于可能随之而产生的行为，也就是因我们的选择而发展出来的结果，我们是没有发言权的。 有时候我会将数学评论想象成一只“双头怪兽”。第一颗头要求的是滴水不漏的严谨逻辑解释，在推理上绝对不能有缺口，或是有任何打马虎眼的模糊空间。这颗头非常注重细节，且全然的冷酷无情。我们都恨它实在太唠叨，但在我们心底，我们都知道它是对的。第二颗头要的是纯然的美丽与简洁，让我们感到愉悦，不光是能验证它，而且要得到更深刻的理解。通常我们是更难让这颗头满意的。 ...