《一个数学家的叹息》读书笔记

Sun, 10 May 2026 11:20:14 +0800

### **《一个数学家的叹息》**

==依旧应试教育体制下的精神鸦片，但是其实观点还是可以指引我们的，不得不承认这样的全面改变不现实，但是我们到了大学其实就是一个自我教育的阶段，那么这本书就极其有参考意义了。==

保罗·拉克哈特

34个笔记

上篇悲歌

文化是自我复制繁衍的怪物：学生从他们老师那里学习数学，而老师又是从他们的老师那里学习数学，所以对于数学欠缺的了解与欣赏，会在我们的文化中无止境地复制下去。更糟的是，这种“伪数学”以及这种强调精准却无灵魂地操弄符号的延续，创造了自己的文化和自己的一套价值观。那些已经精熟这一套的人，从他们的成功当中衍生出了极大的自负。他们最听不进去的就是，数学其实是原始的创造力和美学的感受力。
我们的文化如果只是对数学无知，这已经够糟了，但更糟的是，人们真的以为他们了解数学——普遍地误以为数学对人类社会具有实用价值！这就已经构成数学和其他艺术之间的极大差异。数学被我们的文化看作是科学和技术的一种工具。大家都知道诗和音乐是纯粹用来欣赏的，能振奋人类的心灵，让我们的生命更高尚（因此在公立学校的课程安排中几乎都被拿掉了），但是数学则不然，数学是很“重要的”。
要抹杀学生对一门科目的热情与兴趣，最有效的方法就是把它列为必修课。把它列入标准化测验的主要科目，就能保证让它失去生命力。
所有这些“改革”最悲哀的地方，是企图“要让数学变有趣”和“与孩子们的生活产生关联”。你不需要让数学变得有趣——它本来就远超过你了解的有趣！而它的骄傲就在与我们的生活完全无关。这就是为什么它是如此有趣！
人们喜欢“奇幻”，而这正是数学能够提供的——日常生活中的消遣、现实工作世界的调剂。
学校里的数学，最主要的问题出在没有“问题”。我知道大家都认为在数学课堂里的问题，就是那些枯燥的“习题”。“这里有一个题型；这里是解答它的方法；这个会出现在考试里；今天的家庭作业是习题1-35题。”这样学习数学是很可悲的：人变成了训练有素的黑猩猩。
同时，如同我先前说过的，一门学科碰巧具有一些世俗上实际的用途，不代表我们必须将这个用途当作教导和学习的焦点。就像是，为了填写汽车监理所的表格，我们需要阅读能力，但是这不是我们教导孩子们阅读的原因。我们教他们阅读是为了更高的目的，希望他们能够接触美妙及有意义的观念。
正如高斯（Carl Friedrich Gauss）曾经说过的：“我们需要的是想法，不是符号。”（What we need are notions, not notations.）
有多少修习文学课的学生日后成为作家的？那不是我们教授文学的目的，也不是学生修习文学的目的。我们教授文学是为了启发每个人，不是只训练未来的专业人士。无论如何，科学家或工程师最有价值的技术，是能够有创意地思考和独立地思考。大家最不需要的就是被训练。
2026/03/17 发表想法

太正确了

原文：这就紧密地联结到我所谓的“阶梯的迷思”（ladder myth）——数学可以安排成一系列的“主题”，一个比一个更进阶，或“更高级”。目的是在使学校里的数学成为一项“竞赛”——有些学生“超前”其他人，而家长则担心自己的孩子会比别人“落后”。然而，这个竞赛到底要引导我们奔向何处？在终点线等待我们的又是什么？答案是，这是个没有目标的可悲竞赛。到最后，你是被我们的数学教育给欺骗了，而你根本就不知道。
这就紧密地联结到我所谓的“阶梯的迷思”（ladder myth）——数学可以安排成一系列的“主题”，一个比一个更进阶，或“更高级”。目的是在使学校里的数学成为一项“竞赛”——有些学生“超前”其他人，而家长则担心自己的孩子会比别人“落后”。然而，这个竞赛到底要引导我们奔向何处？在终点线等待我们的又是什么？答案是，这是个没有目标的可悲竞赛。到最后，你是被我们的数学教育给欺骗了，而你根本就不知道。
。问题自然会引导你到它要你去的地方。艺术不是竞赛。“阶梯迷思”是这个科目的错误形象，而一个遵照标准课纲授课的老师，则强化了这个迷思，使得他或她无法看清数学是一个完整的有机体。
高中生必定会学的三角函数“sec x”，只是“1/cos x”的缩写而已，其重要性无异于以“&”代替“and”一样。这个缩写其实是15世纪航海计算表遗留下来的［其他早期三角函数表上的许多缩写像是正矢（versine）等则已废弃不用］，只不过是历史上的偶然，在快速精准的航海仪表计算时代，已经完全没有价值。因此，我们在数学课堂上塞满这些没有意义的专有名词，只是为数学而数学罢了。
另一个例子是训练学生以不必要的复杂形式来表达讯息，原因是在几年后的未来，这样的表达方式会有意义。有没有哪位中学代数老师知道为什么要学生把“介于3和7之间的数字”说成|x－5|<2？这些令人绝望的、无能的教科书作者真的相信他们是在帮学生预做准备，可能几年后，他们会需要计算更多维的空间几何或抽象的距离空间？我很怀疑呢。我猜这些教科书只是世世代代相互抄袭而已，可能会改改字体或颜色，如果有学校采用他们的教科书，成为无意间的帮凶时，他们还洋洋得意呢。
数学是关于问题的学科，而问题必须要成为学生数学生涯中的焦点。也许会有创作上的挫折和一些痛苦，但学生和老师应该永远专注在过程上——想出来了、还没想出来、发现模式、进行猜测、建构支持的例子和反例、设计论证，以及评论彼此的成果。和数学历史上的进程一样，特定的技巧和方法会在这个过程中自然产生——不会脱离，而会有机地关联到问题的背景环境，并且从那当中生长出来。
所以，不是只有大部分的小孩被这个假学问完全搞迷糊了——没有什么比去证明显而易见的事更让人困惑了——即使那些还保有直觉的少数人，也必须将他们优异、绝妙的点子转换并置入这个荒诞难解的架构里，好让他们的老师说它是“正确的”。老师则沾沾自喜地认为他让学生的心智变敏锐了。
没有任何数学家是这样工作的，从来没有任何数学家以这种方式工作。这是对数学这门学问完全地、彻底地误解。数学不是在我们自己和我们的直觉之间树起屏障，也不是要让简单的事情变得复杂。数学是移除通往直觉的障碍，让简单的事情维持简单。
几何学标准课程的问题在于，艺术家挣扎奋斗的个人经验，全都被消灭了。证明的艺术性，被毫无生气、形式化的演绎法的僵硬步骤所取代。教科书呈现出一整套的定义、定理及证明，教师们照抄在黑板上，学生们照抄在笔记簿上，然后要求学生再依样画葫芦地写习题。能快速学会这种模式的，就是“好”学生。
学生做出叙述，去符合现成的证明模式，而不是因为他们的确这样想。他们被训练去模仿论证，而不是去想出论证。
重点是，你不会从定义开始，你是从问题开始。一直到毕达哥拉斯（Pythagoras）试图测量正方形的对角线，发现它无法以分数来表示，在那之前没有人想过，数可能是“无理的”（irrational）。只有在你的论证达到某一点，你必须要做出区别来厘清时，定义才有意义。在没有动机的时候做出的定义，更有可能造成混淆。
我相信你是喜欢的。你可能偶尔也会做到一些不错的题目。很多人喜欢几何课（虽然更多人痛恨它），但是这不是支持目前制度的好理由，这反而强有力地证实了数学本身的魅力。要完全摧毁这么美丽的事物，是非常困难的；即使是数学残留的影子，仍是如此吸引人并让人满足。许多人也还是喜欢按数字涂色，那是令人放松而且有趣的动手活动，虽然那并不是真正的绘画。
2026/03/18 发表想法

别骂了😭

原文：微积分。这个课程将探索关于运动的数学，用一堆不必要的公式来埋葬它是最好的方法。尽管在此是要介绍微分和积分的，但它将略过牛顿和莱布尼兹（Leibniz）的简单而深刻的想法，代之以更复杂的、以函数为主的方法，而那是为了对应各种分析危机而开发出来的，在这套课程中并不会真正应用到，当然这些都不会在课程中提到。在大学里，同样的东西会逐字逐句地再上一遍。
微积分。这个课程将探索关于运动的数学，用一堆不必要的公式来埋葬它是最好的方法。尽管在此是要介绍微分和积分的，但它将略过牛顿和莱布尼兹（Leibniz）的简单而深刻的想法，代之以更复杂的、以函数为主的方法，而那是为了对应各种分析危机而开发出来的，在这套课程中并不会真正应用到，当然这些都不会在课程中提到。在大学里，同样的东西会逐字逐句地再上一遍。
以上所述，是一帖能让年轻心灵永久性瘫痪的完整处方——能有效根治好奇心。这就是他们对数学所做的好事！

下篇鼓舞

以这样的方式，我们游戏、创造、试着更接近完全的美丽。17世纪初期有个著名的例子，就是射影几何（projective geometry）的发明。这里的想法是拿掉平行性（parallelism），来“改良”欧几里得几何。先把这个决定的历史动机［与透视数学（mathematics of perspective）有关］摆在一边不谈，我们至少能欣赏到一项事实，就是一般而言两条直线会相交于单一的一个点，而平行线则打破了这个模式。以另一种方式来说，两个点决定一条线，但是两条线不必然决定一个点。这项大胆的想法是，在传统的欧几里得平面上增加新的点。具体地说，我们在这个平面上每个方向无限远的地方创造一个新的点。因此，伸向那个方向的两条平行线现在都会在那个新的点上“相会”。我们可以想象那个交会点是在那个方向无限远的地方。当然，由于每条线都是向两个相反的方向无限延伸的，那个新的点必然是位于两个方向上无限远的地方！也就是说，我们的直线现在是无限的回路！这个想法很前卫吧？请注意，我们的确得到了我们要的：每一对直线都正好相会在一个点上了。如果它们原来就曾相交，那它们符合这个叙述；如果它们是平行的，现在它们会相交在无限远。（完整地说，我们应该再增加一条线，包含所有无限远的点。）现在，任两点决定且只决定一条线，而任两条线决定且只决定一个点。这样的环境多么美好呀！对你来说，这会不会听起来像是精神病患的疯言疯语？我承认这需要一些了解。也许你反对这些新的点，因为它们不是真的存在“那里”。但是欧几里得的平面又一开始就存在吗？重点是这些都不是真实存在的事物，所以除了我们想要制定的规则和限制之外，并没有其他的规则和限制。这里的美学观很清楚，无论是从历史上还是哲学上而言：如果一套模式既有趣又有吸引力，那就是好的模式（如果这表示你必须要为一个新构想绞尽脑汁，那就更好）。尽管去建构你想要的任何东西，只要不是讨人厌的无聊东西就好。当然这是品味问题，而品味会随着时间改变和进化的。这就来到艺术史的范畴了。身为一个数学家，好像跟聪明不是那么相关（虽然那绝对有很大的帮助），而是要有美学上的感受力，以及具有精致的、有鉴赏力的品位。尤其是，自相矛盾通常被视为讨厌的。所以，至少我们的数学创造物必须要有逻辑上的一致性。在延伸或是改良现有架构的时候，这一点尤其重要。我们当然是可以任意做我们想做的，但是通常我们在延伸扩张一个系统时，不能让新的模式与旧的模式发生矛盾（例如与负数或分数的计算产生矛盾）。偶尔，这会迫使我们做出不想做的决定，像是解除以零作为除数的限制（如果“1/0”这样的数字存在的话，将会和“任何数字乘以零都是零”这个很好产生矛盾的模式）。无论如何，只要是符合一致性，你几乎可以做任何你想做的事。
虽然我们创造了这些事物（这本身就是一个严肃的哲学问题），但现在它们横冲直撞，做出了我们意料之外的事。这就是数学具有的“科学怪人”的一面——我们有权定义我们的创造物，将我们选择的特征或特质灌注进去，但是对于可能随之而产生的行为，也就是因我们的选择而发展出来的结果，我们是没有发言权的。
有时候我会将数学评论想象成一只“双头怪兽”。第一颗头要求的是滴水不漏的严谨逻辑解释，在推理上绝对不能有缺口，或是有任何打马虎眼的模糊空间。这颗头非常注重细节，且全然的冷酷无情。我们都恨它实在太唠叨，但在我们心底，我们都知道它是对的。第二颗头要的是纯然的美丽与简洁，让我们感到愉悦，不光是能验证它，而且要得到更深刻的理解。通常我们是更难让这颗头满意的。

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